Deformációs elasztográfia

Book for Physicists » Ultrasound » Új irányok az ultrahang diagnosztikában » Szonoelasztográfia » Deformációs elasztográfia

A deformációs elasztográfiai módszerek lényege, hogy egy valamilyen úton létrehozott elmozdulás-mezőből megbecsüljük a mechanikai deformációtenzor elemeit. Azonos külső erő hatására az egyes szövetek deformációja azok elasztikus tulajdonságaitól erősen függ, ahogy ezt az alábbi ábra is szemlélteti:

Deformáció és elasztikus tulajdonságok összefüggése

A szöveteken belül egyenletes nyomáseloszlást feltételezve, egyszerűen a mért deformációból is következtethetünk az elasztikus modulusokra: nagyobb deformáció esetén puhább (kis Young-modulusú), kis deformáció esetén keményebb (nagy Young-modulusú) szövetről beszélhetünk. Ebből kiindulva definiálható az úgynevezett deformáció-hányados:
$$\frac{\varepsilon_{referencia}}{\varepsilon_{vizsgalt\: szovet}}$

. Ha ez a hányados kisebb, mint egy, akkor értelemszerűen a referenciához (pl.: egészséges szövetek) képest lágyabb szövetet vizsgálunk, míg egynél nagyobb értékek kemény szöveteknél adódnak.
Természetesen a legtöbb esetben nem tehető fel, hogy a szövetben egyenletes nyomáseloszlás jön létre, ennek ellenére a deformáció pontos mérése közelebb visz minket a szövetek elasztikus tulajdonságainak feltérképezésekhez.

Kvázisztatikus és deformáció-hányados elasztográfia

A deformációs elasztográfia kísérleti szempontból talán legkönnyebben kivitelezhető ágazata a statikus szövetösszenyomódást felhasználó kvázisztatikus elasztográfia. A mérés során a szöveteket valamilyen külső erővel összenyomjuk, és ultrahangfelvételt készítünk az összenyomás előtti és utáni állapotról is. A két felvétel összehasonlításával az elmozdulás mérhető, és így a deformáció megbecsülhető.
A deformáció becslésének máig használt módját először J. Ophir és munkatársai publikálták 1991-ben. Az eljárás lényege, hogy az egyes A-módban vizsgált vonalak esetén az eredeti és az összenyomott állapot összehasonlítható, a két idő-visszhangamplitúdó (vagy távolság-amplitúdó) függvény erősen korrelált lesz, ugyanakkor az összenyomódás miatt a visszaverőfelületek elcsúsznak, ez idő- (és távolság) eltolódást eredményez a második A-vonalban. Az elcsúszás mértékét legkönnyebben a két függvény keresztkorrelációjából határozhatjuk meg.
Természetesen a külső erő hatására kialakuló összenyomódás a mélység függvényében változhat, így az egyes A-vonalakat leíró függvényt célszerű felosztani mélység szerint, már egységesnek tekinthető, homogén szegmensekre. Ezek keresztkorrelációs függvényei megadják az adott szegmensre jellemző eltolódás értékét.
Az egymás melletti A-vonalak felvételével, a vonalmenti elmozdulásokat kiszámítva kettő, vagy akár háromdimenziós elmozdulásmező is kimérhető. A deformáció ebből definíció szerint numerikusan számolható, az alábbi eljárással: ha a mintát összesen dz-vel nyomtuk össze, és $\tau _{i}$ jelöli az i. szegmensben mérhető időeltolódást, akkor a deformáció: $$\frac{\varepsilon_{referencia}}{\varepsilon_{vizsgalt\: szovet}}$ . A nevezőben szereplő kifejezés természetesen a második (összenyomott) A-vonal és az eredeti A-vonal időbeli hosszának különbsége, vagyis a teljes összenyomódás, ezzel normálható az egyes szegmensek közti elmozduláskülönbség.
A deformáció értéke szokványos ultrahangképekhez hasonlóan szürkeskálán ábrázolható, ezt nevezzük deformáció-képnek. A deformáció-kép ismeretében több lehetőség kínálkozik az elasztikus modulusok kiszámítására, például a mintán belül egyszerűen konstans nyomást feltételezve, $E=\frac{p}{\varepsilon}$ alapján belátható, hogy a deformáció inverzét ábrázolva egy szürkeskálán - mivel $\frac {1}{\varepsilon}$ arányos a Young-modulussal - a Young-modulus helyfüggése figyelhető meg. A nyomás értékét megmérve a Young-modulus valódi értéke is megadható. A nyomás szintén mérhető ultrahanggal, ha ismert Young-modulusú réteget helyezve a szövetre annak összenyomódását megmérjük a fent leírt módszerrel, így a nyomás a felső rétegben kiszámítható. Mivel feltételeztük, hogy a nyomás a teljes szövetben egyenletes, ezért ezzel az értékkel számolhatunk a szövet belsejében is.
A fenti módszer jó becslést ad a Young-modulus értékére a szövetek belsejében, de az egyenletes nyomás feltételezése csak bizonyos esetekben tekinthető reálisnak. Minél kiterjedtebb felületet nyomunk le, annál egyenletesebb lesz a szövetben a nyomás térbeli eloszlása.
Ha a deformációtenzor elemeit már ismerjük az általunk vizsgált tér minden pontjában, akkor elméletileg pontosabban is kiszámíthatjuk az elasztikus modulust, a nyomás ismeretének feltevése nélkül is. Felírhatjuk Newton második törvényének általános alakját: $\frac{\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}+f_{i}=\rho \cdot \frac{\partial^2 u_{i}}{\partial t^2}$ , ahol $u_{i}$ az elmozdulás vektor megfelelő komponense, $\sigma _{ij}$ a szintén definiált mechanikai feszültségtenzor, $f_{i}$ pedig a térfogati erő sűrűség vektorának i. komponense. A képlet Einstein-konvencióban értendő, vagyis azonos indexekre összegzünk.
Feltételezve a lehető legegyszerűbb esetet, vagyis azt, hogy az anyag lineáris és izotróp, a Hooke-törvény általános alakja leegyszerűsödik, mivel az általános negyedrendű Hooke-tenzor 81 eleméből csupán kettő lesz független, ezeket nevezzük Lamè-állandóknak: $\lambda=c_{1122}$ és $\mu=c_{1212}$ . Ezeket az értékeket felhasználva a mechanikai deformációtenzor és a feszültségtenzor összefüggése: $\sigma _{ij}=\lambda\cdot\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\cdot\varepsilon_{ij}$ . A Lamè-állandók segítségével a szokványos elasztikus modulusok kifejezhetőek: $E=\mu\frac{3\lambda+2\mu}{\lambda+\mu}$ , $G=\mu$ és $K=\lambda+\frac{2}{3}\mu$ , valamint a Poisson-tényező: $\upsilon =\frac {\lambda}{2\left ( \lambda+\mu \right )}$ .
Ha feltételezzük, hogy az anyag viszkózus is, akkor további két tagot kell hozzáadnunk az összeghez: $\sigma _{ij}=\lambda\cdot\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\cdot\varepsilon_{ij}+ \zeta\frac{\partial \varepsilon_{kk}}{\partial t}+2\eta\frac{\partial \varepsilon_{ij}}{\partial t}$ , ahol a két új konstans az anyag viszkozitását jellemzik és a deformációtenzor elemeinek változási sebességével együtt a feszültségtenzor változásának csillapodását írják le.
Ha a szövetek összenyomása rendkívül lassú, kvázisztatikusnak tekinthető folyamat, akkor a differenciálegyenletekben szereplő időderiváltakat mind zérusnak tekinthetjük. Emellett, ha figyelembe vesszük, hogy a biológiai szövetek gyakorlatilag összenyomhatatlanok, akkor az első Lamè-állandó, $\lambda$ tart végtelenhez. (Ezzel a feltétellel az összes korábbi feltevésünk, $\upsilon=0,5$ , $E=3G=3\mu$ illetve $K \to \infty$ teljesül.) Ugyanakkor összenyomhatatlan anyag esetében a deformációtenzor nyoma 0 lesz, hiszen minden infinitezimális összenyomás esetén $\frac{\Delta V}{V_{0}}=\varepsilon_{kk}$ teljesül, így a $\Delta V=0$ egyenlőségből $\varepsilon_{kk}=0$ következik. E két állításból már belátható, hogy ha $\mu$ véges, de $\lambda \to \infty$ , akkor $K\equiv \frac{p}{\frac{\Delta V}{V_{0}}}\rightarrow \lambda$ , vagyis határértékben a statikus nyomásra a $p=\lambda\varepsilon_{kk}$ kifejezést kapjuk.
Tehát alkalmazva az összes egyszerűsítést a mechanikai feszültségtenzor: $\sigma _{ij}=p\cdot\delta_{ij}+2\mu\cdot\varepsilon_{ij}$ , vagyis a Newton-törvény megfelelő alakja: $\frac{\partial }{\partial x_{j}}\left ( p\cdot\delta{ij}+2\mu\cdot\epsilon_{ij} \right )+f_{i}=0$ . Elvégezve a j-edik indexre való szummázást, és a deformációtenzor elemeit az elmozdulásvektor megfelelő deriváltjaival definíció szerint helyettesítve, valamint kihasználva az összenyomhatatlansági feltételt, az alábbi egyenletrendszerhez juthatunk:
$\frac{\partial p}{\partial x_{i}} +\frac{\partial }{\partial x_{j}}\left (\mu\cdot\left ( \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} +\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right ) \right ) +f_{i}=0 \\ \varepsilon_{kk}=\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}=0$
A fenti parciális differenciálegyenlet-rendszer az elmozdulásvektor ismeretében és megfelelő határfeltételek mellett numerikusan megoldható $\mu$ -re , azonban analitikus megoldása nem létezik. Általánosságban elmondható, hogy a differenciálegyenletek megoldásával nyert elasztogramok minősége nem múlja felül jelentősen az egyenletes nyomáseloszlást feltételezve, és a deformáció-képet egyszerűen invertálva megkapható képekét.

Akusztikus lökéshullám (Acoustic Radiation Force Impulse, ARFI) képalkotás

Az akusztikus lökéshullám képalkotási eljárás azon alapul, hogy nagy intenzitású fókuszált ultrahanghullámmal jól meghatározott helyen kis elmozdulás hozható létre, a terjedő hullám lényegében „meglöki” a szövetet, a keletkező elmozdulás pedig mérhető szokásos alacsonyintenzitású ultrahanghullámokkal.
Az eljárás előnye, hogy a létrehozott elmozdulás szinte egy pontba lokalizálható, illetve a pontba ható erő nagyon pontosan meghatározható, így elkerülhető a kvázisztatikus eljárás leírásában ismertetett bonyolult differenciálegyenletek megoldása.
Az akusztikus hullám által létrehozott erő az alábbi képlettel számítható: $F\left(\vec{x} \right )=\frac{P_{abszorbált}}{c_{hang} \left(\vec{x} \right )}=\frac{2\alpha\left ( \vec{x} \right )I\left ( \vec{x} \right )}{c_{hang} \left(\vec{x} \right )}$ , ahol az elnyelt teljesítményt $\alpha\left ( \vec{x} \right )$ abszorpciós koefficiens és $I\left ( \vec{x} \right )$ intenzitás szorzatából számíthatjuk ki, a teljesítmény és a hullám terjedési sebességének hányadosából megkapható a pontban keletkező erő.
Ha az anyagban mérhető elmozdulásokat akarunk létrehozni, akkor a fenti képlet alapján látható, hogy nagy intenzitást kell elérnünk. Ezzel szemben az ultrahangfelvétel készítése során általában kis intenzitásokkal dolgozunk. Az akusztikus lökéshullám képalkotási eljárás legegyszerűbben úgy valósítható meg, ha a nagy intenzitású lökő impulzus, illetve a gyengébb képalkotásra használt impulzus is ugyanazon transzducerből származik, vagyis a megfelelő impulzusokat felváltva, gyors egymásutánban alkalmazzuk.
Az ultrahangfelvételek alapján az elmozdulás adatok a szövetben a keresztkorrelációs eljárással meghatározhatóak, így a mechanikai deformációt könnyen kiszámíthatjuk, csakúgy, mint a mechanikai feszültséget, ami az erő térbeli eloszlásából megkapható. A két érték hányadosából pedig a Young-modulus kiszámítható a minta tetszőleges pontjában.
Az akusztikus lökéshullám képalkotási technológia óriási előnye az ultrahangnyaláb fókuszfolt-méretével egybeeső felbontása, valamint azon tulajdonsága, hogy a nyaláb intenzitásának beállításával a nyomóerő meglehetősen pontosan számítható. Hátránya az eljárásnak, hogy nagyobb területek csak meglehetősen hosszú idő alatt térképezhetőek fel, mivel egyszerre csupán egy pontban hozunk létre elmozdulást. Emellett korlátozza a lehetőségeinket az is, hogy a nagy elnyelt energiamennyiség a szövetek túlzott felmelegedésével járhat, ami egészségügyi kockázatot jelenthet.

Vibroakusztográfia

A vibroakusztográfia az egyik legötletesebb szövet-elaszticitás feltérképező eljárás. A módszer alapötlete igen egyszerű: a vizsgált mintát egyszerre nem egy, hanem két harmonikus ultrahang-nyalábbal pásztázzuk, melyeknek fókusza közös, de frekvenciájuk kissé különbözik. A következő ábrán látható a mérési elrendezés sematikus rajza:

Vibroakusztográf felépítése

Ahogy az ábrán is látható, a közös fókuszpontban a minta egyszerre két frekvencián rezeg. Harmonikus hullámokat feltételezve az adott pontban a hullám amplitúdója időben a két hullám szorzatfüggvényeként változik: $A\left(t \right )=A_{1}\cos \left ( 2\pi f_{1}\cdot t \right )\cdot A_{2}\cos \left ( 2\pi \left (f_{1}+\Delta f \right )\cdot t \right )$ ez a szorzat pedig átalakítható, kihasználva a trigonometrikus függvények tulajdonságait: $A\left(t \right )=\frac {A_{1}A_{2}}{2}\left (\cos \left ( 2\pi \left (2 f_{1}+\Delta f \right )\cdot t \right )+ \cos \left ( 2\pi \Delta f \cdot t \right ) \right )$ .
Ezek alapján, ha a minta rezgései által keltett hangokat hidrofonnal rögzítjük, akkor a minta azon pontjai, amelyek csak egy ultrahang-nyaláb útjába esnek, azok $f_{1}$ vagy $f_{1}+\Delta f$ frekvenciával rezegnek, míg a közös fókuszpont egy nagy $2 f_{1}$ frekvenciás, illetve egy \Delta f\ll f_{1} alacsony frekvenciás rezgést mutat. Ha a hidrofon jelét aluláteresztő szűrőre vezetjük, akkor csupán a vizsgált pont alacsonyfrekvenciás rezgését észleljük. A rezgés amplitúdója pedig összefügg a vizsgált pontban mérhető elasztikus modulusokkal, ha a Young-modulus nő, az amplitúdó csökken.
A módszerrel az akusztikus lökéshullám képalkotáshoz hasonlóan nagyon jó felbontású képet lehet létrehozni, de egy nagyobb terület feltérképezése itt is hosszabb időt vesz igénybe. Az adatok feldolgozásánál nincs szükség bonyolult matematikai eljárások alkalmazására, így kivitelezése jelentősen egyszerűbb a legtöbb elasztográfiai módszernél, emiatt a jövőben széleskörű diagnosztikai feladatok ellátására lehet képes.

Export

Medical Imaging

Site Language: English